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\chapter{Calcul des indices et construction de la courbe de dommage} % Main chapter title

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\lhead{Chapitre 3. \emph{Calcul des indices et construction de la courbe de dommage}} % Change X to a consecutive number; this is for the header on each page - perhaps a shortened title
Dans cette partie, nous nous proposons d’appliquer la méthodologie utilisée par le CCRIF sur les données dont nous avons à disposition, à savoir : \\
\begin{itemize}
\item L’historique des précipitations journalières de 1998 à 2013 sur les 28 cellules géographiques de la Jamaïque
\item Les taux d’exposition au risque de pluie torrentielle pour ces 28 cellules
\item Les montants globaux des pertes engendrées par les ouragans et les tempêtes tropicales sur les 15 dernières années en Jamaïque
\end{itemize}

\section{Détection des événements et calcul des indices}
\subsection{Evénements locaux}

La première étape consiste à agréger les pluies, c'est-à-dire à cumuler les précipitations sur les 4 jours précédents inclus la date de mesure. A l’issue de ce calcul, nous disposons de 28 séries de pluies correspondant au 28 zones de la Jamaïque sur lesquelles nous allons détecter les événements de pluies extrêmes définis par le CCRIF \footnote{Pour rappel, un événement local extrême débute lorsque les précipitations agrégées dépassent le seuil de 250 mm et se termine lorsqu’elles redeviennent inférieures à ce seuil.}.\\ \\
Entre 1998 et juin 2013, il y a eu exactement 200 pluies torrentielles locales extrêmes ce qui représente en moyenne 13 événements locaux par an. Par ailleurs, le nombre d’événements diminue en fonction du seuil choisi (250 mm pour le CCRIF) comme le montre la figure \ref{fig:Detection evenement}.
 \begin{figure}[htbp]
 \centering
    \includegraphics[scale=0.5,keepaspectratio=true]{Figures/Chapter1/detection_evenement.pdf}
    \rule{35em}{0.5pt}
   \caption[Evolution du nombre d’événements détectés en fonction du seuil de précipitation]{Evolution du nombre d’événements détectés en fonction du seuil de précipitation}
   \label{fig:Detection evenement}
 \end{figure}
 
 
\paragraph{Répartition géographique}
Il peut être intéressant d’étudier la répartition géographique de l’occurrence de ces événements. La figure \ref{fig:Repartition cellule} retrace le nombre d’événements locaux qui se sont produits les 15 dernières années par cellule géographique.
\begin{figure}[htbp]
\centering
   \includegraphics[scale=0.85,keepaspectratio=true]{Figures/Chapter1/evenement_cellule.png}
  \caption[Répartition géographique des événements de pluie extrêmes en Jamaïque]{Répartition géographique des événements extrêmes en Jamaïque}
  \label{fig:Repartition cellule}
\end{figure}  

\noindent La première chose à noter est que l’Est de l’île est plus touché par les pluies torrentielles. Ceci aura un impact non négligeable sur la tarification du contrat car le tiers des richesses de l’île est concentré sur la région de la capitale Kingston (cellules 20, 21, 23 et 24 cf. \ref{fig:Repartition 28 cellules}). De même, 40\% de l’exposition totale au risque est concentrée sur les zones surlignées en rouge sur la carte précédente qui correspondent à plus de 10 événements détectés sur les 15 dernières années. \\ \\
Il est à noter que la durée moyenne d’un événement est de 3,5 jours. Sur les 15 dernières années, un seul événement a duré 6 jours sur la région de Kingston le 1er octobre 2010 et représente le $3^{\textnormal{ème}}$ indice le plus élevé.
\paragraph{Répartition annuelle}
La répartition annuelle des indices locaux est donnée via l’histogramme \ref{fig:Repartition tempo}.
\begin{figure}[htbp]
\centering
   \includegraphics[scale=0.85,keepaspectratio=true]{Figures/Chapter1/Exemtres_mois.png}
  \caption[Répartition des événements extrêmes par mois]{Répartition des événements extrêmes par mois}
  \label{fig:Repartition tempo}
\end{figure} 

\noindent Aucun événement n’est détecté pendant les mois de Janvier à Avril et pendant le mois de Juillet. Aussi, les pluies torrentielles ont lieu principalement en Mai, Septembre et Octobre. Cela concorde avec la saison des pluies décrite plus haut dans la partie descriptive de la pluviométrie en Jamaïque.
\paragraph{Indice paramétrique local}
Une fois que les événements locaux ont été détectés sur les 15 dernières années, nous calculons les indices associés. Pour rappel, le calcul de l’indice local se base seulement sur le pic de pluie journalière de l’événement considéré. La fonction de vulnérabilité permet de relier ce pic de pluie au pourcentage de vulnérabilité de la zone touchée. Cette information nous étant inconnue pour le moment, nous avons calculé les indices locaux sur base de la fonction de vulnérabilité de la figure \ref{fig:Fonction Vul}.
\begin{figure}[htbp]
\centering
   \includegraphics[scale=0.3,keepaspectratio=true]{Figures/Chapter1/fonction_vul1.png}
  \caption[Fonction de vulnérabilité pour le calcul des indices locaux]{Fonction de vulnérabilité pour le calcul des indices locaux}
  \label{fig:Fonction Vul}
\end{figure} 

\noindent Cette fonction a volontairement été choisie positive à partir de 250 mm : à tous les événements détectés sera reversée une indemnité. La vulnérabilité de 100\% signifierait que le territoire de la cellule concernée serait entièrement détruit. Nous avons arbitrairement choisi le niveau de 800 mm de pluie pour atteindre ce seuil. Nous reviendrons sur le choix de la forme de la fonction de vulnérabilité dans le paragraphe suivant. Dans tous les cas, cela n’a aucun impact sur la détection des événements de pluies extrêmes\footnotemark.
\footnotetext{Nous verrons dans le chapitre 3 que le taux de vulnérabilité maximal n'influence pas le calcul de la prime. Le taux à 100 \% est choisi arbitrairement.}\\  \\
Les 6 indices les plus élevés sont sur les cellules 20 et 21 correspondant à la région de Kingston. Les dates des événements sous-jacents sont le 25 Mai 2005 \footnote{pluie torrentielle recensée sur le site internet de l’institut d’hydrologie des Caraïbes}, le 30 Août 2008 \footnote{tempête tropicale Gustav} et le $1^{er}$ Octobre 2010 \footnote{tempête tropicale Nicole}. Entre 1998 et 2012, les événements extrêmes n’ont pas été distribués de manière uniforme comme le montre la figure \ref{fig:Repartition annuelle}.
\begin{figure}[htbp]
\centering
   \includegraphics[scale=0.8,keepaspectratio=true]{Figures/Chapter1/Extremes_annee.png}
  \caption[Répartition annuelle des événements extrêmes]{Répartition annuelle des événements extrêmes}
  \label{fig:Repartition annuelle}
\end{figure}

\noindent D’après l’histogramme \ref{fig:Repartition annuelle}, aucune pluie torrentielle n’a eu lieu en 1998 et en 2006. En revanche, l’année 2002 a été particulièrement intense. La Jamaïque a connu des épisodes de pluies torrentielles intenses les mois de Mai et de Juin 2002 et ceux sur une grande partie de l’île (24/28 cellules ont été impactées).  De plus, nous pouvons remarquer que les pluies ne sont pas distribuées identiquement tous les ans. Par souci de simplification, nous considérerons toutefois dans la partie modélisation du mémoire que les pluies suivent des cycles saisonniers qui se répètent tous les ans. En d'autres termes, nous négligeons par la suite l'effet d'un changement climatique potentiel sur les précipitations en Jamaïque.
\subsection{Evénements nationaux}
Une fois les indices locaux calculés, il est possible de déduire d’une part les dates des événements nationaux et d’autre part les indices nationaux associés. Un événement national se définit comme une succession continue d’événements locaux. \\ \\
Toujours entre 1998 et 2012, les 200 événements locaux s’agrègent en 29 événements nationaux. La liste des 29 indices nationaux est donnée dans l’annexe \ref{AppendixA}. 
\begin{figure}[htbp]
\centering
   \includegraphics[scale=0.8,keepaspectratio=true]{Figures/Chapter1/evenement_nat.png}
  \caption[Répartition dans le temps des événements extrêmes nationaux]{Répartition dans le temps des événements extrêmes nationaux}
  \label{fig:Evenement nationaux}
\end{figure} 

\noindent L'histogramme \ref{fig:Evenement nationaux} s’interprète de la même façon que la répartition des indices locaux par années : 
\begin{itemize}
\item Il y a au moins 1 événement tous les ans à l’exception de 1998 et de 2006
\item  L’année 2002 est la plus touchée avec 5 événements \\
%\item La durée moyenne d’un événement national est de 1,6 jours
%\item  L’événement le plus long a duré 4 jours à partir du 27 mai 2002 et représente le $4^{\textnormal{ème}}$ indice le plus important.\\
\end{itemize}

%Par définition, un événement national ne prend en compte que la succession des pics de pluies locaux.  Il faut donc faire attention à l’analyse de ces chiffres qui ne sont pas comparables avec les durées des événements locaux. 
\noindent Enfin, nous pouvons nous demander si les catastrophes naturelles en Jamaïque entre 1998 et 2012 décrites à travers le tableau \ref{tab:Detection Catastrophes en Jamaïque} ont été détectées comme des événements de pluie torrentielle via l’indice utilisé par le CCRIF. Nous comparons ainsi les dates des événements nationaux de pluies extrêmes avec les dates des catastrophes naturelles : \\
\begin{table}[htbp]
\centering
\begin{tabular}{l|c|c c|c}

\textbf{Catastrophe naturelle}&\textbf{Année}&\textbf{Début}&\textbf{Fin}&\textbf{Détecté \footnotemark} \\
\hline \hline 
Ouragan Michelle & 2001 & 28/10/2001 & 05/11/2001 & Oui \\
Pluies torrentiells de Mai/Juin & 2002 & 22/05/2002 & 02/06/2002  & Oui \\
Ouragan Ivan & 2004 & 10/09/2004 &	12/09/2004 & Oui \\
Ouragan Dennis \& Emily & 2005 & 18/07/2005 &	05/08/2005 & \emph{Non} \\
Ouragan Wilma & 2005 & 13/10/2005 &	19/10/2005 & Oui \\
Ouragan Dean & 2007 & 19/08/2007 &	20/08/2007 & \emph{Non} \\
Tempête tropicale Gustav & 2008 & 28/08/2008 &	29/08/2008 & Oui \\
Tempête tropicale Nicole& 2010 & 26/09/2010 &	01/10/2010 & Oui \\
Ouragan Sandy &	2012 &	23/10/2012 &	25/10/2012 & \emph{Non} \\
\hline
\hline
\end{tabular}
\caption[Détection des catastrophes naturelles par l’indice CCRIF entre 1998 et 2012]{Détection des catastrophes naturelles par l’indice CCRIF entre 1998 et 2012}
\label{tab:Detection Catastrophes en Jamaïque}
\end{table}
\footnotetext{Au niveau national selon l'indice XSR.}

\noindent Sur les 9 catastrophes naturelles, trois ne sont pas détectées par les événements nationaux au sens du CCRIF. Une pluie torrentielle est tout de même détectée une semaine avant l’ouragan Dean sur l’Est de l’île le 12 août 2007. Les ouragans peuvent en effet être précédés de fortes précipitations. De même, il a extrêmement plu 3 semaines avant l’ouragan Sandy sur les pointes Est et Ouest de l’île. Enfin, les ouragans Dennis et Emily n’ont pas été détectés. La raison possible est que les ouragans sont généralement accompagnés à la fois de forts vents et de pluies, contrairement aux tempêtes tropicales qui se caractérisent par de fortes pluies.

\section{Choix de la fonction de vulnérabilité }


Une des étapes du processus de calcul de l’indice paramétrique consiste à relier le pic de pluie à un taux de perte plus communément appelé taux de vulnérabilité. Cette fonction est définie par le CCRIF mais ne nous a pas été communiquée. Nous considérons qu'elle est identique sur toutes les cellules.\\ \\
Cette fonction traduit les dégâts occasionnés par un événement local dont on connait le pic de pluie journalière. Nous avons calculé l’indice via une fonction linéaire du type de la fonction utilisée pour le calcul de nos indices locaux (cf. figure \ref{fig:Fonction Vul Simple}).
\begin{figure}[htbp]
\centering
   \includegraphics[scale=0.5,keepaspectratio=true]{Figures/Chapter1/fonction_vul_simple1.png}
  \caption[Fonction de vulnérabilité simple]{Fonction de vulnérabilité simple}
  \label{fig:Fonction Vul Simple}
\end{figure}

\begin{itemize}
\item \textbf{Choix de A } : Nous avons vu que dans le contrat XSR, une pluie torrentielle est détectée lorsque le pic de pluies agrégées 5 jours dépasse 250 mm. Il est donc logique de choisir A = 250 mm de façon à ce qu'un indice local strictement positif définisse un événement local. \\
\item \textbf{Choix de B } : Nous avons observé sur l'historique de 15 ans que le pic maximal des pluies agrégées est de 623 mm. Nous pensons qu'il est judicieux de choisir un paramètre B supérieur à cette valeur. En effet, ce paramètre traduit un effet de saturation des dégâts. A ce stade, nous choisissons B=800 mm. Nous verrons dans le troisième chapitre que la prime est peu sensible à la valeur B. \\
\item \textbf{Choix de C } : Pour l'instant, nous prenons la valeur C = 100 \% ( destruction totale à partir du seuil de saturation B). Nous verrons que nous pourrons choisir C selon la fonction de dommage historique mais que ce paramètre n'aura pas d'influence dans le calcul de la prime. \\
\end{itemize}
%\paragraph{Fonction de vulnérabilité logistique}Dans un second temps, nous testons une fonction de vulnérabilité de type logistique. La particularité de la fonction logistique est qu’elle possède un seuil d’inflexion. Avant ce seuil, la fonction est convexe ce qui traduit des dégâts marginaux de plus en plus importants avec le pic de pluie. Après ce seuil, la fonction est concave ce qui indique que les dégâts marginaux sont décroissant et tendent vers un seuil de dégât maximal. Par analogie avec la fonction d’utilité d’un consommateur, si ce seuil était de 500 mm, alors le passage d’un pic de 300 à 400 mm serait beaucoup plus important par rapport à un passage de 700 à 800 mm, les terres étant déjà « quasi détruites » à partir de 500 mm de pluie sur 5 jours. Nous avons alors estimé les paramètres a et r (cf. fonction logistique ci-dessous) avec K fixé à 100\% de manière à obtenir la même variance que dans le cas de la fonction affine avec A=250 mm et B=800m (Variance=53.4) :
%\begin{align*}
%f(t)=\frac{K}{1+ae^{-rt}} \hspace{2cm} J\left(\frac{ln(a)}{r};K/2\right)
%\end{align*}
%Il est à noter que le point d’inflexion n’est pas statistiquement indentifiable (il est possible d’obtenir deux couples différents (a,r) donnant le même seuil) . Par méthode graphique, nous obtenons a=4 et r=1/440. Le seuil d’inflexion est atteint au point J (avec K=1). Le seuil critique est donc de ln(4)*440 soit à peu prêt un pic de pluie de 600 mm. Nous avons choisi toutefois de garder la fonction de vulnérabilité simple car encore une fois c’est l’aléa sur les précipitations qui va avoir une forte influence sur la tarification du contrat.

\section{Construction d’une courbe de dommage}
Un produit d’assurance paramétrique a pour objectif d’indemniser un pays dans les plus brefs délais suite à la survenance d’un événement naturel extrême. Dans le cas du produit XSR, l’indice de pluie agrégé sur 5 jours doit refléter les dégâts probables sur chacune des régions de la Jamaïque. Pour réduire le risque de base de non adéquation de l’indice avec les dégâts, il est important de pouvoir relier les indices détectés lors des 15 dernières années avec les dégâts réels, ces derniers nous étant inconnus.\\ \\
En revanche, nous avons à notre disposition les rapports sur l’impact socio-économique et environnemental des principales catastrophes naturelles ayant touché la Jamaïque ces 15 dernières années  (cf. \cite{report1}, tableaux \ref{tab:Catastrophes en Jamaïque} et \ref{tab:Indemnity CCRIF}). Ces rapports ont été rédigés en grande partie par l’Institut de planification de la Jamaïque, mission gouvernementale rattachée au ministère des finances, et par le comité de coopération et de développement des Caraïbes. La première chose à noter est que les dommages ne sont connus qu’au niveau de l’île entière et non par région. Dans ces rapports, les dommages liés aux catastrophes naturelles sont catégorisés de la façon suivante :

\begin{itemize}
\item Impacts sociaux : destruction partielle ou totale de maisons et d’écoles
\item Impacts sanitaires : destruction partielle ou totale d’infrastructures médicales, pertes de fournitures et d’équipements, besoin en médicaments pour les populations touchées, propagation de maladies telle que la dengue
\item Impacts productifs : pertes agricoles (submersion des cultures et perte de bétails), déclin du tourisme
\item Impacts sur les infrastructures : routes détruites ou impraticables, endommagement des conduits d’eau et d’électricité, télécommunications interrompues
\item Impact environnemental :érosion du sol, destruction d’arbres. \\
\end{itemize}

\noindent Pour construire une courbe de dommage, nous relevons les pertes totales directes dans chacun des rapports et les relions aux événements extrêmes potentiellement détectés par l'indice national XSR du CCRIF. Sur les 9 catastrophes naturelles, seules 6 d’entre elles ont été détectées par l’indice XSR. Il est donc difficile d’analyser une courbe à 6 points, mais c’est la seule information dont nous disposons. Il serait dangereux de vouloir simuler des pertes dans le but d’avoir plus de points car la courbe de dommage est censée relier les indices aux pertes historiques. De plus, nous avons pris en compte l’inflation afin de comparer les montants de perte car le dollar Jamaïcain est 3 fois plus élevé en 2012 qu’en 1999.


\noindent La courbe de dommage devrait être construite grâce aux points précédents de la façon schématique suivante :
\begin{figure}[htbp]
\centering
   \includegraphics[scale=0.8,keepaspectratio=true]{Figures/Chapter1/fonction_dom_histo.png}
  \caption[Construction de la courbe de dommage à partir des pertes historiques]{Construction de la courbe de dommage à partir des pertes historiques}
  \label{fig:Construction Courbe Dommages}
\end{figure}


\noindent Les bornes \textit{Attachment} et \textit{Exhaustion} doivent soit être définies comme des quantiles précis de la distribution de l’indice national, soit être fixées par le pays lui-même. Dans le cas où les bornes sont des quantiles, le montant limite de couverture (cf. fonction de paiement \ref{fig:Fonction de paiement}) peut être déduit de la courbe de dommage comme l’écart entre les dégâts correspondant aux points \textit{Attachment} et \textit{Exhaustion}. Dans le cas où la Jamaïque choisit les bornes, la limite de couverture doit aussi être donnée par le pays.\\ \\
Les dégâts sont en général beaucoup plus importants lors des ouragans que pour les tempêtes tropicales car la force du vent est le facteur principal de destruction des infrastructures. L’indice XSR ne détectant que les pluies torrentielles, il est important de connaître la partie des dégâts liés aux pluies dans les dégâts totaux. C’est pour cela que nous avons ajusté les dégâts recensés dans les rapports aux données de vent. Pour cela, nous avons utilisé le modèle de K. Emanuel dans le mémoire sur le produit Ouragan \cite{Marko}. Ce dernier modèle estime la proportion de dommage liée à la force du vent lors d’un épisode catastrophique. Le pourcentage de destruction $p$ est défini de la manière suivante : $p=v^3/(1+v^3 )$ où v représente la vitesse maximale agrégée du vent lors d’un événement extrême. A titre d’exemple, 80\%  des dégâts occasionés par l’Ouragan Ivan proviendrait de la force du vent selon le modèle. \\ \\
Après avoir isolé les dégâts liés à la pluie \footnote{Nous faisons l'hypothèse que les dégâts proviennent principalement du vent et de la pluie.}, les dommages par la pluie sont représentés dans la figure \ref{fig:Courbe Dommage}.
\begin{figure}[htbp]
\centering
   \includegraphics[scale=0.6,keepaspectratio=true]{Figures/Chapter1/courbe_dommage.pdf}
  \caption[Courbe de dommage en fonction de l'indice national XSR]{Courbe de dommage en fonction de l'indice national XSR}
  \label{fig:Courbe Dommage}
\end{figure}
La première chose à noter est que le montant des dommages est croissant avec l’indice national, à l’exception des inondations de mai 2002 qui constitue un indice élevé mais des dégâts moindre (2,47 milliards de dollars Jamaïcain) par rapport aux autres catastrophes naturelles. Il serait cependant imprudent d’émettre toute hypothèse sur la forme de la fonction de dommage car nous ne pouvons pas juger sur 6 historiques de pertes. De plus, n’ayant pas les pertes historiques pour les 29 indices nationaux calculés les 15 dernières années, il est probable que les 6 points constituent la partie haute de la fonction de dommage. Il y a donc un problème de troncature à gauche : seuls les dégâts des catastrophes naturelles majeurs sont observés.

